Wprowadzenie do Świata Liczb Zespolonych i Roli Pierwiastkowania
Liczby zespolone, stanowiące fascynujące rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych, są fundamentem wielu zaawansowanych dziedzin matematyki, fizyki i inżynierii. Zapisywane zazwyczaj w postaci algebraicznej jako \(z = a + bi\), gdzie \(a\) to część rzeczywista, \(b\) to część urojona, a \(i\) jest jednostką urojoną spełniającą warunek \(i^2 = -1\), otwierają przed nami możliwości rozwiązywania problemów, które pozostają nierozwiązywalne w ramach liczb rzeczywistych. Ich zdolność do reprezentowania zarówno wielkości, jak i fazy sprawia, że są nieocenionym narzędziem w analizie zmiennego prądu, teorii sygnałów czy mechanice kwantowej.
Jedną z kluczowych operacji na liczbach zespolonych, która ukazuje pełnię ich struktury i bogactwo rozwiązań, jest pierwiastkowanie. W przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, gdzie pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej daje dwa rozwiązania, a z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze rzeczywistym, pierwiastkowanie liczby zespolonej zawsze prowadzi do \(n\) różnych rozwiązań dla pierwiastka \(n\)-tego stopnia. To fundamentalne spostrzeżenie ma daleko idące konsekwencje, pozwalając na głębsze zrozumienie symetrii i cykliczności zjawisk opisywanych przez równania zespolone.
Celem niniejszego artykułu jest kompleksowe omówienie procesu pierwiastkowania liczb zespolonych. Przyjrzymy się zarówno definicjom, jak i konkretnym wzorom, ze szczególnym uwzględnieniem twierdzenia de Moivre’a, które stanowi kamień węgielny w tej dziedzinie. Przedstawimy metody obliczania pierwiastków różnych stopni oraz zgłębimy ich intrygującą interpretację geometryczną na płaszczyźnie zespolonej. Zrozumienie pierwiastkowania otwiera drzwi do zaawansowanych analiz i praktycznych zastosowań, od teorii obwodów elektrycznych po grafikę komputerową.
Definicja i Fundamentalne Zasady Pierwiastkowania Liczb Zespolonych
Pierwiastkowanie liczby zespolonej \(z\) stopnia \(n\) polega na znalezieniu wszystkich takich liczb zespolonych \(w\), dla których spełniony jest warunek \(w^n = z\). Zbiór wszystkich takich liczb \(w\) nazywamy zbiorem pierwiastków \(n\)-tego stopnia z liczby \(z\). Kiedy mówimy o pierwiastkach w zbiorze liczb rzeczywistych, często zakładamy istnienie jednego, głównego rozwiązania (np. \(\sqrt{4} = 2\)). W świecie liczb zespolonych, dla każdej niezerowej liczby \(z\) i każdego naturalnego \(n \geq 1\), zawsze istnieje dokładnie \(n\) różnych pierwiastków \(n\)-tego stopnia. To kluczowa różnica, która nadaje pierwiastkowaniu zespolonemu unikalny charakter.
Aby efektywnie obliczać pierwiastki, niezbędne jest przedstawienie liczby zespolonej w jej postaci trygonometrycznej lub wykładniczej. Choć forma algebraiczna \(a+bi\) jest intuicyjna do podstawowych operacji, to potęgowanie i pierwiastkowanie stają się znacznie prostsze, gdy liczba zespolona \(z\) jest zapisana jako:
- Postać trygonometryczna: \(z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)\), gdzie \(|z|\) to moduł (długość wektora od początku układu do punktu \(z\) na płaszczyźnie zespolonej, obliczany jako \(\sqrt{a^2 + b^2}\)), a \(\varphi\) to argument (kąt między dodatnią półosią rzeczywistą a wektorem, mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Argument \(\varphi\) jest często podawany w przedziale \([0, 2\pi)\) lub \((-\pi, \pi]\).
- Postać wykładnicza: \(z = |z|e^{i\varphi}\), która jest zwartym zapisem wynikającym ze wzoru Eulera (\(e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi\)). Ta forma jest szczególnie wygodna w zastosowaniach inżynierskich i teoretycznych.
Przekształcenie liczby zespolonej z postaci algebraicznej do trygonometrycznej wymaga obliczenia modułu \(|z|\) oraz argumentu \(\varphi\). Argument \(\varphi\) można znaleźć, korzystając z zależności trygonometrycznych: \(\cos \varphi = a/|z|\) i \(\sin \varphi = b/|z|\), pamiętając o prawidłowym wyborze ćwiartki płaszczyzny zespolonej, w której leży liczba \(z\).
Zrozumienie tych podstaw jest fundamentalne, ponieważ to właśnie moduł i argument liczby \(z\) determinują moduły i argumenty jej pierwiastków. Moduł pierwiastków \(n\)-tego stopnia będzie zawsze pierwiastkiem \(n\)-tego stopnia z modułu liczby oryginalnej (wartość rzeczywista i dodatnia), natomiast argumenty pierwiastków będą rozłożone w sposób cykliczny, co zostanie szczegółowo omówione w kontekście wzoru de Moivre’a.
Potęga Wzorów de Moivre’a i Postacie Liczb Zespolonych w Pierwiastkowaniu
Wzory de Moivre’a stanowią kamień milowy w arytmetyce liczb zespolonych, znacząco upraszczając operacje potęgowania i pierwiastkowania, zwłaszcza gdy liczby te są przedstawione w postaci trygonometrycznej. Jest to narzędzie, które pozwala na eleganckie i systematyczne podejście do tych złożonych zagadnień.
Wzór de Moivre’a dla Potęgowania
Dla dowolnej liczby zespolonej \(z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)\) oraz dowolnej liczby całkowitej \(n\), wzór de Moivre’a na potęgowanie ma postać:
\[ z^n = (|z|(\cos \varphi + i \sin \varphi))^n = |z|^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)) \]
Ten wzór pokazuje, że potęgowanie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej sprowadza się do podniesienia jej modułu do potęgi \(n\) oraz pomnożenia argumentu przez \(n\). Jest to znacznie prostsze niż wielokrotne mnożenie liczb w postaci algebraicznej.
Wzór de Moivre’a dla Pierwiastkowania
W przypadku pierwiastkowania, wzór de Moivre’a jest równie potężny i pozwala na wyznaczenie wszystkich \(n\) pierwiastków \(n\)-tego stopnia z liczby zespolonej. Jeśli \(z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)\), to jej \(n\) pierwiastków \(n\)-tego stopnia, oznaczanych jako \(z_k\), dla \(k = 0, 1, \ldots, n-1\), są dane wzorem:
\[ z_k = \sqrt[n]{|z|} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right) \right) \]
Gdzie \(\sqrt[n]{|z|}\) oznacza rzeczywisty, dodatni pierwiastek \(n\)-tego stopnia z modułu \(|z|\). Dodatek \(2k\pi\) do argumentu \(\varphi\) przed podzieleniem przez \(n\) jest kluczowy. Wynika on z okresowości funkcji trygonometrycznych: \(\cos(\alpha) = \cos(\alpha + 2k\pi)\) i \(\sin(\alpha) = \sin(\alpha + 2k\pi)\). Każda wartość \(k\) (od \(0\) do \(n-1\)) generuje unikalny pierwiastek, ponieważ argument \(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\) będzie różny i każdy z tych argumentów będzie należał do przedziału o długości \(2\pi\), gwarantując odrębne rozwiązania.
Wzory Redukcyjne i ich Zastosowanie
Wzory redukcyjne w trygonometrii, takie jak \(\sin(\pi – x) = \sin x\) czy \(\cos(\pi – x) = -\cos x\), choć bezpośrednio nie są częścią wzoru de Moivre’a, odgrywają pomocniczą rolę w procesie pierwiastkowania liczb zespolonych. Ułatwiają one prawidłowe określenie argumentu \(\varphi\) liczby zespolonej, zwłaszcza gdy jej część rzeczywista lub urojona są ujemne. Po obliczeniu argumentu z użyciem funkcji \(\text{arctg}(b/a)\), wzory redukcyjne pozwalają dostosować go do odpowiedniej ćwiartki płaszczyzny zespolonej, co jest niezbędne do poprawnego zastosowania wzoru de Moivre’a.
Na przykład, jeśli liczba zespolona \(z = -1 + i\), to \(\text{arctg}(1/(-1)) = \text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}\). Jednak \(z\) leży w drugiej ćwiartce, więc poprawny argument to \(\pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\). Bez prawidłowego wyznaczenia \(\varphi\), wszystkie dalsze obliczenia pierwiastków będą błędne.
Podsumowując, wzory de Moivre’a, w połączeniu z umiejętnością pracy z postacią trygonometryczną i właściwym doborem argumentu, stanowią serce procesu pierwiastkowania liczb zespolonych, otwierając drogę do systematycznego znajdowania wszystkich możliwych rozwiązań.
Praktyczne Metody Obliczania Pierwiastków n-tego Stopnia
Obliczanie pierwiastków zespolonych, niezależnie od ich stopnia, zawsze przebiega według podobnego schematu, opierającego się na wzorze de Moivre’a. Kluczowe jest systematyczne podejście i dokładność na każdym etapie.
Ogólna Procedura Obliczania Pierwiastków
- Przekształcenie do postaci trygonometrycznej: Pierwszym krokiem jest zamiana danej liczby zespolonej \(z = a + bi\) na postać trygonometryczną \(z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)\).
- Oblicz moduł: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
- Oblicz argument: \(\varphi\). Należy uważać na ćwiartkę, w której leży \(z\). Często używa się \(\text{arctg}(b/a)\), a następnie koryguje kąt, dodając \(\pi\) (dla \(a<0\)) lub \(2\pi\) (jeśli wynik jest ujemny i chcemy go w \([0, 2\pi)\)). Specjalne przypadki: jeśli \(a=0\) i \(b>0\), \(\varphi = \pi/2\); jeśli \(a=0\) i \(b<0\), \(\varphi = 3\pi/2\); jeśli \(b=0\) i \(a>0\), \(\varphi = 0\); jeśli \(b=0\) i \(a<0\), \(\varphi = \pi\).
- Zastosowanie wzoru de Moivre’a: Użyj wzoru na pierwiastki \(n\)-tego stopnia:
\[ z_k = \sqrt[n]{|z|} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right) \right) \]
dla \(k = 0, 1, \ldots, n-1\). - Obliczenie poszczególnych pierwiastków: Podstawiaj kolejne wartości \(k\) i obliczaj \(n\) różne pierwiastki. Zazwyczaj pozostawia się je w postaci trygonometrycznej, ale w niektórych przypadkach można je przeliczyć z powrotem na postać algebraiczną, obliczając wartości \(\cos\) i \(\sin\) dla każdego argumentu.
Pierwiastki Kwadratowe: Równanie \(z^2 = w\)
Dla pierwiastków kwadratowych (\(n=2\)), poszukujemy rozwiązań równania \(z^2 = w\). Stosując ogólną procedurę, dla liczby \(w = |w|(\cos \varphi + i \sin \varphi)\), otrzymujemy dwa pierwiastki:
- Dla \(k=0\): \(z_0 = \sqrt{|w|} \left( \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \right)\)
- Dla \(k=1\): \(z_1 = \sqrt{|w|} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2\pi}{2}\right) \right) = \sqrt{|w|} \left( \cos\left(\frac{\varphi}{2} + \pi\right) + i \sin\left(\frac{\varphi}{2} + \pi\right) \right)\)
Zauważmy, że \(\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)\) i \(\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)\). Zatem \(z_1 = -z_0\), co oznacza, że pierwiastki kwadratowe są zawsze parą liczb zespolonych przeciwnych. Jest to analogiczne do pierwiastków rzeczywistych, np. \(\sqrt{4} = \pm 2\).
Pierwiastki Trzeciego Stopnia i Wyższe
Dla pierwiastków trzeciego stopnia (\(n=3\)), dla liczby \(z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)\), mamy trzy pierwiastki:
- \(z_0 = \sqrt[3]{|z|} \left( \cos\left(\frac{\varphi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi}{3}\right) \right)\)
- \(z_1 = \sqrt[3]{|z|} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2\pi}{3}\right) \right)\)
- \(z_2 = \sqrt[3]{|z|} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 4\pi}{3}\right) \right)\)
Dla pierwiastków czwartego stopnia (\(n=4\)), otrzymamy cztery rozwiązania, a dla stopnia \(n\), zawsze będzie \(n\) rozwiązań. Każde kolejne rozwiązanie jest obrócone o kąt \(2\pi/n\) względem poprzedniego na płaszczyźnie zespolonej.
Przykład: Pierwiastek 4 stopnia z liczby 1
Obliczmy pierwiastek czwartego stopnia z liczby \(z = 1\).
- Postać trygonometryczna: \(z = 1 = 1(\cos 0 + i \sin 0)\). Zatem \(|z|=1\) i \(\varphi = 0\).
- Zastosowanie wzoru de Moivre’a (dla \(n=4\)):
\[ z_k = \sqrt[4]{1} \left( \cos\left(\frac{0 + 2k\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{0 + 2k\pi}{4}\right) \right) = 1 \left( \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{k\pi}{2}\right) \right) \] - Obliczenie pierwiastków (dla \(k=0, 1, 2, 3\)):
- \(k=0\): \(z_0 = \cos(0) + i \sin(0) = 1 + 0i = 1\)
- \(k=1\): \(z_1 = \cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2) = 0 + 1i = i\)
- \(k=2\): \(z_2 = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1 + 0i = -1\)
- \(k=3\): \(z_3 = \cos(3\pi/2) + i \sin(3\pi/2) = 0 – 1i = -i\)
Zatem pierwiastki czwartego stopnia z liczby 1 to: \(1, i, -1, -i\). Jest to klasyczny przykład pokazujący, jak pierwiastki rzeczywiste mogą mieć swoje odpowiedniki w świecie zespolonym, a także jak pojawiają się pierwiastki czysto urojone.
Geometryczna Wizualizacja Pierwiastków Zespolonych: Okręgi i Wielokąty Formentne
Jedną z najbardziej eleganckich i intuicyjnych cech liczb zespolonych jest ich interpretacja geometryczna na płaszczyźnie zespolonej. Ta wizualizacja staje się szczególnie użyteczna przy zrozumieniu rozkładu pierwiastków \(n\)-tego stopnia. Płaszczyzna zespolona to układ współrzędnych, gdzie oś pozioma reprezentuje część rzeczywistą (Re), a oś pionowa – część urojoną (Im). Liczba zespolona \(z = a + bi\) jest punktem o współrzędnych \((a, b)\), lub wektorem wychodzącym z początku układu do tego punktu.
Pierwiastki na Okręgu o Promieniu \(\sqrt[n]{|z|}\)
Kluczowym elementem geometrycznej interpretacji pierwiastków jest to, że wszystkie \(n\) pierwiastków \(n\)-tego stopnia z danej liczby zespolonej \(z\) leżą na okręgu. Promień tego okręgu jest równy \(\sqrt[n]{|z|}\), czyli rzeczywistemu, dodatniemu pierwiastkowi \(n\)-tego stopnia z modułu liczby \(z\). Środek tego okręgu zawsze znajduje się w początku układu współrzędnych \((0,0)\).
Ten fakt wynika bezpośrednio ze wzoru de Moivre’a. Moduły wszystkich pierwiastków \(z_k\) są jednakowe i wynoszą \(\sqrt[n]{|z|}\). Oznacza to, że każdy pierwiastek jest oddalony od początku układu o tę samą odległość, co siłą rzeczy umieszcza je na okręgu o tym promieniu.
Wierzchołki n-kąta Formentego
Co więcej, nie tylko pierwiastki leżą na okręgu, ale są również rozmieszczone na nim w sposób wysoce symetryczny. Jeśli połączymy te \(n\) punkty na okręgu, otrzymamy wierzchołki regularnego \(n\)-kąta foremnego (wielokąta o \(n\) równych bokach i \(n\) równych kątach wewnętrznych), wpisanego w ten okrąg. Kąt między dowolnymi dwoma sąsiednimi pierwiastkami (patrząc od początku układu) wynosi dokładnie \(2\pi/n\) radianów (lub \(360^\circ/n\)).
Ta symetria również jest bezpośrednią konsekwencją wzoru de Moivre’a. Argumenty kolejnych pierwiastków \(z_k\) to \(\frac{\varphi}{n}, \frac{\varphi + 2\pi}{n}, \frac{\varphi + 4\pi}{n}, \ldots, \frac{\varphi + 2(n-1)\pi}{n}\). Różnica między argumentami sąsiednich pierwiastków wynosi:
\[ \frac{\varphi + 2(k+1)\pi}{n} – \frac{\varphi + 2k\pi}{n} = \frac{2\pi}{n} \]
Ten stały kąt między wektorami reprezentującymi kolejne pierwiastki gwarantuje ich równomierne rozmieszczenie i tworzenie foremnego wielokąta.
Przykłady:
- Dla pierwiastków kwadratowych (\(n=2\)), otrzymujemy dwa punkty leżące na przeciwległych końcach średnicy okręgu, tworzące 2-kąt foremny (odcinek). Kąt między nimi to \(2\pi/2 = \pi\).
- Dla pierwiastków sześciennych (\(n=3\)), otrzymujemy wierzchołki trójkąta równobocznego. Kąt między nimi to \(2\pi/3 = 120^\circ\).
- Dla pierwiastków czwartego stopnia (\(n=4\)), jak w przypadku pierwiastków z 1 (\(1, i, -1, -i\)), otrzymujemy wierzchołki kwadratu. Kąt między nimi to \(2\pi/4 = \pi/2 = 90^\circ\).
Interpretacja geometryczna nie tylko ułatwia wizualizację rozwiązań, ale często pozwala na szybkie sprawdzenie poprawności obliczeń. Jeśli obliczone pierwiastki nie tworzą foremnego wielokąta na okręgu, jest to sygnał, że gdzieś w obliczeniach pojawił się błąd.
Zastosowania i Znaczenie Pierwiastkowania Liczb Zespolonych w Nauce i Inżynierii
Pierwiastkowanie liczb zespolonych to nie tylko abstrakcyjna operacja matematyczna; jego konsekwencje i wyniki mają głębokie znaczenie i szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki. Zrozumienie, w jaki sposób pierwiastki zespolone rozkładają się na płaszczyźnie, pozwala na modelowanie i analizowanie złożonych systemów, które wykraczają poza możliwości liczb rzeczywistych.
Inżynieria Elektryczna i Elektroniczna
Jedną z najbardziej widocznych dziedzin, w której liczby zespolone, a co za tym idzie pierwiastkowanie, odgrywają kluczową rolę, jest inżynieria elektryczna. W analizie obwodów prądu zmiennego (AC), gdzie występują elementy takie jak rezystory, kondensatory i cewki, impedancja (zespolony odpowiednik oporu) jest reprezentowana przez liczby zespolone. Pierwiastkowanie może pojawić się w procesie projektowania filtrów, analizie rezonansu czy stabilności systemów kontroli. Na przykład, rozwiązania równań charakterystycznych opisujących zachowanie obwodów często prowadzą do pierwiastków zespolonych, które determinują odpowiedź impulsową lub częstotliwościową systemu.
Przetwarzanie Sygnałów
W dziedzinie przetwarzania sygnałów, zarówno analogowych, jak i cyfrowych, liczby zespolone są nieodzowne. Transformata Fouriera, która rozkłada sygnał na jego składowe częstotliwościowe, wykorzystuje funkcje zespolone. Pierwiastkowanie może pojawić się przy analizie stabilności systemów czasu dyskretnego, gdzie pierwiastki równań charakterystycznych (tzw. bieguny) decydują o tym, czy system jest stabilny, niestabilny, czy oscylacyjny. Umiejscowienie tych pierwiastków na płaszczyźnie zespolonej (w szczególności w odniesieniu do okręgu jednostkowego) jest decydujące dla zachowania systemu.
Mechanika Kwantowa i Teoria Pola
W fizyce teoretycznej, zwłaszcza w mechanice kwantowej, liczby zespolone są integralną częścią formalizmu opisującego stany cząstek elementarnych. Funkcje falowe, które opisują prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu, są z natury zespolone. Pierwiastkowanie może pojawić się w kontekście rozwiązywania równań Schrödingera lub w analizie symetrii i transformacji unitarnych, gdzie operatory mogą mieć pierwiastki o zespolonych wartościach własnych. Podobnie, w teorii pola, pierwiastki z operatorów mogą ujawniać ukryte własności symetrii systemów.
Matematyka Czysta i Stosowana
W samej matematyce, pierwiastkowanie liczb zespolonych jest kluczowe dla teorii równań wielomianowych. Podstawowe twierdzenie algebry mówi, że każdy wielomian stopnia \(n\) z zespolonymi współczynnikami ma dokładnie \(n\) pierwiastków zespolonych (licząc z krotnościami). Wyznaczanie tych pierwiastków często sprowadza się do pierwiastkowania liczb zespolonych. Ponadto, w analizie zespolonej, funkcje zespolone i ich własności, w tym punkty osobliwe, bieguny i zera, są ściśle związane z pojęciem pierwiastkowania. Teoretyczne podstawy te mają również zastosowanie w numerycznych metodach rozwiązywania równań, optymalizacji i modelowaniu matematycznym.
Grafika Komputerowa i Przetwarzanie Obrazów
Mniej oczywiste, ale równie ważne, są zastosowania w grafice komputerowej i przetwarzaniu obrazów. Transformacje geometryczne, takie jak obroty i skalowanie, mogą być elegancko reprezentowane i wykonywane przy użyciu liczb zespolonych. Pierwiastkowanie może być wykorzystane do generowania fraktali (np. zbiór Mandelbrota, zbiory Julii), gdzie iteracje funkcji zespolonych, w tym operacji potęgowania i pierwiastkowania, tworzą złożone i piękne wzory.
Podsumowując, zdolność liczb zespolonych do posiadania wielu pierwiastków, równomiernie rozmieszczonych na okręgu, jest głęboką właściwością matematyczną, która znajduje odzwierciedlenie w wielu zjawiskach świata rzeczywistego. To sprawia, że pierwiastkowanie zespolone jest nie tylko ćwiczeniem rachunkowym, ale i potężnym narzędziem analitycznym dla współczesnej nauki i techniki.
Przykładowe Zadania i Wyzwania w Pierwiastkowaniu Zespolonym
Praktyczne zadania z pierwiastkowania liczb zespolonych są najlepszym sposobem na utrwalenie wiedzy teoretycznej i rozwinięcie intuicji. Poniżej przedstawiamy kilka przykładów, demonstrujących różnorodność problemów, z jakimi można się spotkać.
Zadanie 1: Oblicz pierwiastki sześcienne z liczby \(z = -8i\)
Rozwiązanie krok po kroku:
- Przekształcenie do postaci trygonometrycznej:
Liczba \(z = -8i\) ma część rzeczywistą \(a=0\) i część urojoną \(b=-8\).- Moduł: \(|z| = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8\).
- Argument: Ponieważ \(z\) leży na ujemnej półosi urojonej, \(\varphi = \frac{3\pi}{2}\) (lub \(-\frac{\pi}{2}\)). Przyjmijmy \(\varphi = \frac{3\pi}{2}\).
Zatem \(z = 8\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2